図解入門 よくわかる微分方程式

概 要

本書は、物理や工学で最もよく用いられる微分方程式を中心に直接積分法から演算子法まで、解法を図解で基礎からわかりやすく解説した入門書です。一階と二階の定数係数線形微分方程式に焦点を当てながら、実際の場面での応用力を高めるために、微分方程式の変数などを適用対象によって変えたり、パソコンで計算する場合のVBA(マクロ)やExcelの入力例のほか、物理学における微分方程式の使用例なども豊富に紹介しました。

著者 潮秀樹
価格 本体2300円(税別)
ISBN 978-4-7980-1636-8
発売日 2007/04/26
判型 A5
色数 2色
ページ数 308
CD/DVD
対象読者 入門
シリーズ 図解入門
表紙イメージ
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目次

第1章 微分方程式について

1‐1 微分方程式の種類と解法

微分方程式の分類

微分方程式の解法

1‐2 与えられた条件を満たす解について

初期条件を満たす解と一般解

n階微分方程式と初期条件

1‐3 一般的な解について考える

n階微分方程式の一般解

一般解と基本解

章末練習問題

第2章 両辺を積分して微分方程式の解を求める

2‐1 直接積分法で1階微分方程式の解を求める

y'=f(x)型の1階微分方程式

例1 y'=c

例2 y'=cx

例3 y'=sin(cx)

例4 y'=e-cx

2‐2 直接積分法で2階微分方程式の解を求める

y''=f(x)型の2階微分方程式の解法

例 y''=sin(cx)

2‐3 変数を左辺と右辺に分離し解を求める

y'=f(x)g(y)型の微分方程式の解法

例1 y'=-cy

例2

例3

2‐4 両辺にy'をかけて解を求める

y''=f(y)型の2階微分方程式

例 y''=-cy

2‐5 定数を変化させて解を求める

y'+f(x)y=g(x)型の1階微分方程式

2‐6 置換をして解を求める(同時形)

y'=f(y/x)型の1階微分方程式

2‐7 置換をして解を求める(ベルヌーイの微分方程式)

ベルヌーイの微分方程式

2‐8 完全微分を使って解を求める

完全微分方程式が成り立つとき

例 エントロピー

章末練習問題

第3章 特性方程式を利用して一般的な解を求める

3‐1 特性方程式がただひとつの解を持つとき

特性方程式とは

例1 y'+cy=0

例2 y''=-cy

例3 y''+by'+cy=0

例4 y''+by'+cy=0

3‐2 特性方程式が重解を持つとき

定数係数同次線形微分方程式の一般解を求める方法

例 y''+by'+cy=0

3‐3 高次の微分方程式の解を求める(単解)

単解の場合

3‐4 高次の微分方程式の解を求める(重解)

重解の場合

章末練習問題

第4章 微分演算子を使って特解を求める

4‐1 一般解と特解の関係

一般解と特解

4‐2 微分演算子と微分方程式

微分演算子

Φ(D)y=f(x)の特解

4‐3 指数関数型の解を微分演算子を使って求める

指数関数型の解の求め方

例1 y'+cy=e-ax

例2 y'+ay=e-ax

例3 y'+cy=eiax

例4 y'+cy=sin(ax)

例5 y'+cy=cos(ax)

例6 y''+by'+cy=e-ax

例7 y''+2ay'+a2y=e-ax

例8 y''+by'+cy=eiax

例9 y''+by'+cy=sin(ax)

例10 y''+by'+cy=cos(ax)

4‐4 定数型の解を微分演算子を使って求める

非同時項f(x)が定数である例

4‐5 べき関数型の解を微分演算子を使って求める

べき関数型の解の求め方

例1 y'+cy=ax

例2 y'+cy=ax2

例3 y''+by'+cy=a

例4 y''+by'+cy=ax

4‐6 指数・べき関数型の解を微分演算子を使って求める

指数・べき関数型の解

例1 y0+cy=xe-ax

例2 y0+cy=x2e-ax

章末練習問題

第5章 ラプラス変換を利用して解を求める

5‐1 ラプラス変換と逆ラプラス変換を考える

ラプラス変換の定義

5‐2 ラプラス変換の公式(その1)

一次結合の公式

微分の公式

平行移動の公式

5‐3 ラプラス変換の公式(その2)

定数、べき関数、指数関数の像関数

5‐4 条件y'(0)=y(0)=0を満たす解を求める

部分分数展開法

例1 y'+cy=1

例2 y'+cy=eiax

例3 y'+cy=sin(ax)

例4 y'+cy=cos(ax)

例5 y''+by'+cy=1

例6 y''+by'+cy=eiax

例7 y''+by'+cy=sin(ax)

例8 y''+by'+cy=cos(ax)

5‐5 単位応答を利用して解を求める

ジュアメルの定理

ジュアメルの定理の物理的意味

5‐6 特性方程式が重解を持つときの解を求める

重解を持つ2階線形微分方程式

例1 eiax型

例2 sinax型

例3 cosax型

5‐7 一般的な条件を満たす解を求める

定数係数非同次線形微分方程式を解く

例1 y'+cy=1

例2 y'+cy=eiax

例3 y'+cy=sin(ax)

例4 y'+cy=cos(ax)

章末練習問題

第6章 級数法を利用して一般解を求める

6‐1 べき級数展開を利用して一般解を求める

べき級数法による展開

例1 y0=x

例2 y0+cy=x

例3 y00=x

6‐2 テーラー級数展開を利用して一般解を求める

テーラー級数展開の流れ

例1 y0=x

例2 y0+cy=x

例3 y00=x

6‐3 フーリエ級数展開法を利用して一般解を求める

フーリエ級数展開の使い方

章末練習問題

第7章 パソコンを利用して解を求める

7‐1 1階微分方程式の解を求める

パソコンによる数値計算の方法

例1 y0=x

例2 y0+cy=0

例3 y0+cy=1

例4 y0+xy=sin(πx)

7‐2 2階微分方程式の解を求める

2階常微分方程式をパソコンで解く

例1 y00+cy=0

例2 y00+by0+cy=0

例3 y00+by0+cy=1

例4 y00+xy=sin(πx)

章末練習問題

第8章 微分方程式が物理で使われる例

8‐1 重力場中の運動

運動方程式

8‐2 空気抵抗がある重力場中の運動

重力と空気抵抗がはたらく場合

8‐3 バネの運動を考える

バネの力がはたらく場合

8‐4 空気抵抗があるバネの運動を考える

バネの力と空気抵抗がはたらく場合

8‐5 空気抵抗があるバネに外力がはたらいた運動

空気抵抗があるバネに外力がはたらいた場合

8‐6 惑星の楕円軌道

惑星軌道を表す微分方程式

8‐7 抵抗とコンデンサの回路

コンデンサにたまる電荷や回路に流れる電流を求める

8‐8 抵抗とコイルの回路

回路に流れる電流を求める

8‐9 コンデンサとコイルの回路

コンデンサにたまる電荷や回路に流れる電流を求める

8‐10 抵抗とコンデンサとコイルの回路

コンデンサにたまる電荷や回路に流れる電流を求める

8‐11 入力電圧と出力電圧の関係

入力電圧と出力電圧が満たす微分方程式

8‐12 位置エネルギーと力の関係

位置エネルギーを求める微分方程式

8‐13 理想気体の断熱変化を取り扱う

エントロピーの変化を表す微分方程式

              

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